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Wahrscheinlichkeit
Ein paar Begriffe vorab
Zufallsereignis
= Messungen oder Resultate
Elementarereignis
= eines der möglichen Resultate
Ereignisraum \(\Omega\)
=Gesamtheit aller Elementarereignisse mit der Wahrscheinlichkeit 1 (entspricht 100%)
Beispiel
Zufällige geworfene Augenzahl bei einem Würfel.
Beispiel
Die Augenzahl 1-6 bei einem 6-seitigen Würfel.
Beispiel
- Beim Würfel ist \(\Omega\) = {1,2,3,4,5,6} → 6 Elementarereignisse.
- Die Wahrscheinlichkeit eines dieser Elementarereignisse zu würfeln ist 1, für ein unmögliches Ereignis beträgt sie 0.
- Bei 2 Würfel enthält der Ereignisraum 6 * 6 = 36 Elementarereignisse:
Regeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Schreibweisen:
\(P(A~oder~B) = P(A \cup B)\) und \(P(A~und~B) = P(A \cap B)\)
- Regel 1: Die Wahrscheinlichkeitssumme \(P(_{\Omega})\) aller sich gegenseitig ausschließenden Ereignisse addiert sich zu 1.
- Regel 2: Allgemeine Additionsregel für beliebige Ereignisse A und B, wobei P(A und B) subtrahiert werden muss, um Dopplung zu vermeiden.
- Regel 3: Spezielle Additionsregel bei sich ausschließenden Ereignissen A und B.
- Regel 4: Subtraktionsregel → Subtraktion der komplementären Wahrscheinlichkeit von 1 um P(A) zu bestimmen.
- Regel 5: Spezielle Multiplikationsregel wenn Ereignisse A und B voneinander unabhängig sind.
- Regel 6: Multiplikationsregel bei abhängigen Ereignissen schließt bedingte Wahrscheinlichkeit mit ein.
Anwendungsbeispiel 1: Das Problem von Galilei
Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten, mit 3 Würfeln eine Summe von 9 oder 10 zu erhalten?
- Der Ereignisraum umfasst insgesamt 216 Elementarereignisse (6 * 6 * 6 = 216)
- Die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Elementarereignisses ist somit 1/216 = 0.00462963
- Wie viele Elementarereignisses ergeben in der Summe 9 bzw. 10?
Das Problem von Galilei
Summe 9
25 Elementarereignisse ergeben in der Summe 9:
Das Problem von Galilei
Summe 10
27 Elementarereignisse ergeben in der Summe 10:
Das Problem von Galilei
Theoretischer Ansatz
Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten, mit 3 Würfeln eine Summe von 9 oder 10 zu erhalten?
- Der Ereignisraum umfasst insgesamt 216 Elementarereignisse (6 * 6 * 6 = 216)
- Die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Elementarereignisses ist somit 1/216 = 0.00463
- Wie viele Elementarereignisses ergeben in der Summe 9 bzw. 10? 25 bzw. 27
- Lass uns Regel 3 (Spezielle Additionsregel bei unabhängigen Ereignissen) anwenden:
- P(Summe 9) = 1/216 + … + 1/216 = 25/216 = 0.1157
- P(Summe 10) = 1/216 + … + 1/216 = 27/216 = 0.1250
Das Problem von Galilei
Empirischer Ansatz
Theoretische Werte: P(Summe 9) = 0.1157 und P(Summe 10) = 0.1250
Funktion
calc_prob <- function(n = 100) {
sum3 <- vector("integer", n)
true9<- vector("logical", n)
true10 <- vector("logical", n)
for (i in 1:n) {
sum3 <- sum(sample(1:6,3,replace = T))
true9[i] <- ifelse(sum3 == 9, T, F)
true10[i] <- ifelse(sum3 == 10, T, F)
}
out <- c(
prob9 = round(sum(true9)/n, 4),
prob10 = round(sum(true10)/n, 4)
)
return(out)
}Simulation
calc_prob(n = 20)
prob9 prob10 0.30 0.05
calc_prob(n = 20)
prob9 prob10 0.25 0.00
calc_prob(n = 20)
prob9 prob10 0.1 0.1
calc_prob(n = 100)
prob9 prob10 0.13 0.19
calc_prob(n = 100)
prob9 prob10 0.13 0.06
calc_prob(n = 100000)
prob9 prob10 0.115 0.125
calc_prob(n = 100000)
prob9 prob10 0.116 0.124
Anwendungsbeispiel 2: De-Méré-Paradoxon
Theorie
Was ist wahrscheinlicher, in vier Würfen eines einzelnen Würfels mindestens eine ‘6’ zu würfeln (Variante A) ODER in 24 Würfen eines Würfelpaars mindestens eine ‘Doppelsechs’ zu erzielen (Variante B)?
Variante A
Wahrscheinlichkeit in 4 Würfen mindestens eine 6 zu erzielen → lass uns Regel 5 und dann 4 anwenden:
- P(viermal nicht 6) = (5/6) * (5/6) * (5/6) * (5/6) = 0.482
- P(mindestens eine 6) = 1 - 0.482 = 0.518
Variante B
Wahrscheinlichkeit in 24 Würfen mindestens eine Doppelsechs zu erzielen → Regel 5 und 4:
- P(keine Doppelsechs in 24 Würfen) = (35/36)^24 = 0.509
- P(mindestens eine Doppelsechs) = 1 - 0.509 = 0.491
De-Méré-Paradoxon
Empirischer Ansatz 1
Funktion
calc_prob2 <- function(n = 100) {
successA <- vector("logical", n) # Variante A
for (i in 1:n) {
rdraw <- sample(1:6, 4, replace = TRUE)
successA[i] <- ifelse(6 %in% rdraw, TRUE, FALSE)
}
probsA <- round(sum(successA)/n, 4)
successB <- vector("logical", n) # Variante B
for (i in 1:n) {
ind_success <- vector("logical", 24)
for (j in 1:24) {
rdraw <- sample(1:6, 2, replace = TRUE)
ind_success[j] <- ifelse(all(rdraw == c(6,6)), TRUE, FALSE)
}
successB[i] <- any(ind_success)
}
probsB <- round(sum(successB)/n, 4)
out <- c(probsA = probsA, probsB = probsB) # Ausgabe
return(out)
}De-Méré-Paradoxon
Empirischer Ansatz 2
Theoretische Werte: P(Variante A) = 0.518 und P(Variante B) = 0.491
Simulation
calc_prob2(n = 20)
probsA probsB 0.40 0.35
calc_prob2(n = 20)
probsA probsB 0.55 0.70
calc_prob2(n = 20)
probsA probsB 0.40 0.55
calc_prob2(n = 100)
probsA probsB 0.48 0.47
calc_prob2(n = 100)
probsA probsB 0.56 0.42
calc_prob2(n = 100000)
probsA probsB 0.518 0.491
calc_prob2(n = 100000)
probsA probsB 0.519 0.495
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Die bedingte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses B ist die Wahrscheinlichkeit, dass B eintreten wird, vorausgesetzt, dass A bereits eingetreten ist.
Mögliche Fragestellungen
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
- eine getestete Person bei einem positiven Coronavirus-Schnelltest tatsächlich infiziert ist?
- ein Individuum auf einem Bild wirklich zu Art A gehört, wenn die automatisierte Bildklassifizierung es dorthin einordnet?
- ein/e Student/in in ein Masterprogramm aufgenommen wird UND ein Zimmer im Studentenwohnheim bekommt?
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Beispiel Doppelsechs 1
Angenommen, wir haben im ersten Wurf eine 6 geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, im nächsten Wurf ebenfalls eine 6 zu werfen? Was ist P(6|6)?
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Beispiel Doppelsechs 2
Angenommen, wir haben im ersten Wurf eine 6 geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, im nächsten Wurf ebenfalls eine 6 zu werfen? Was ist P(6|6)?
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Beispiel Doppelsechs 3
Angenommen, wir haben im ersten Wurf eine 6 geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, im nächsten Wurf ebenfalls eine 6 zu werfen? Was ist P(6|6)?
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Beispiel Doppelsechs 4
Angenommen, wir haben im ersten Wurf eine 6 geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, im nächsten Wurf ebenfalls eine 6 zu werfen? Was ist P(6|6)?
Bedingte Wahrscheinlichkeit und die Bayessche Formel
Anwendungsbeispiel: Medizinische Diagnostik
Die Wirksamkeit des Corona Schnelltests:
Anwendungsbeispiel: Medizinische Diagnostik
Die Wirksamkeit des Corona Schnelltests:
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine getestete Person bei einem positiven Coronavirus-Schnelltest tatsächlich infiziert ist?
→ gesucht wird \(P(A|B)\), also \(P(infiziert|positiv)\)
Anwendungsbeispiel: Medizinische Diagnostik
Begriffe
Vorab ein paar Begriffserklärungen
- Prävalenz: Häufigkeit einer Infektion, Krankheit oder eines Symptoms in einer Population zu einem bestimmten Zeitpunkt. Berechnet sich aus dem Quotienten der Anzahl der betroffenen Individuen und der Gesamtzahl aller Individuen dieser Population.
- In unserem Beispiel \(P(infiziert)\) bzw. \(P(A)\)
- Sensitivität: Anteil richtig positiver Ergebnisse, wenn die Untersuchten tatsächlich infiziert bzw. krank sind.
- In unserem Beispiel \(P(positiv|infiziert)\) bzw. \(P(B|A)\)
- Spezifizität: Anteil der richtig negativen Testergebnissen unter allen gesunden Untersuchten.
- In unserem Beispiel \(P(negativ|nicht\:infiziert)\) bzw. \(P(nB/nA)\)
Angenommen
- Prävalenz ist 0.05% (5 von 10000 Einwohner sind infiziert)
- Sensitivität ist 80%
- Spezifizität ist 98%
Anwendungsbeispiel: Medizinische Diagnostik
Bayes
Anwendungsbeispiel: Medizinische Diagnostik
Kreuztabelle 1
Anwendungsbeispiel: Medizinische Diagnostik
Kreuztabelle 2
Anwendungsbeispiel: Medizinische Diagnostik
Kreuztabelle 3
Anwendungsbeispiel: Medizinische Diagnostik
Kreuztabelle 4
Anwendungsbeispiel: Medizinische Diagnostik
Kreuztabelle 5
Anwendungsbeispiel: Medizinische Diagnostik
Kreuztabelle 6
Anwendungsbeispiel: Medizinische Diagnostik
Bayes 2
Zurück zu unserer Bayes Formel:
\[ \begin{align} P(B|A) &= \frac{P(A)*P(B|A)}{P(B)}\\ &=\frac{P(A)*P(B|A)}{P(A)*P(B|A)+P(nA)*P(B|nA)}\\ \\ &=\frac{0.0005*0.8}{0.0005*0.8+0.9995*0.02} = 0.0196 \end{align} \]
Marginalisierung und Zerlegung der Bayesschen Formel
Der Satz von Bayes
- Der Satz von Bayes, vom englischen Mathematiker Thomas Bayes entwickelt und 1763 in An essay towards solving a problem in the doctrine of chances veröffentlicht, gehört zu den wichtigsten Sätzen der Wahrscheinlichkeitsrechnung.
Your turn …
01:00
Quiz
Berechne nun mithilfe der Bayesschen Formel wie hoch \(P(A|B)\) bzw. \(P(infiziert|positiv)\) ist, wenn die Prävalenz nicht 0.05% sondern 10% beträgt?
Lösung
\[ \begin{align} P(B|A) &= \frac{P(A)*P(B|A)}{P(B)}\\ &=\frac{P(A)*P(B|A)}{P(A)*P(B|A)+P(nA)*P(B|nA)}\\ \\ &=\frac{0.1*0.8}{0.1*0.8+0.9*0.02} = 0.8163 \end{align} \]
Wahrscheinlichkeit vs. ‘Odds’
- Anstatt der Wahrscheinlichkeiten werden häufig auch Odds (im deutschen ‘Chancen’) betrachtet (z.B. in Sportwetten, Medizin)
- Odds beschreiben das Verhältnis zwischen der Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis eintritt, und der Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis nicht eintritt: \(Odds (O) = \frac{p(A)}{1-p(A)}\)
- Beispiel:
- Die Odds einen Sechser zu werfen sind O = (1/6)/(5/6) = 1/5 ⇒ die Chancen liegen also bei 1 zu 5.
- Wenn p(A) klein ist, dann liegen p und O nahe bei einander (da 1-p = 1); wenn p(A) größer ist, z.B. 0.99, dann ist O wesentlich größer: O = 0.99/0.01 = 99
Sportwetten
Hier werden unterschiedliche ‘Odd’ Angaben genutzt:
p
Erwartungswert
- Der Erwartungswert einer Zufallsvariablen beschreibt hingegen die Zahl, die die Zufallsvariable im Mittel annimmt (bei unbegrenzter Wiederholung des zugrunde liegenden Experiments).
- Er berechnet sich aus der Summe jedes möglichen Ereignisses gewichtet mit der Wahrscheinlichkeit, dass es eintreten wird: \(E(x) = \sum x_i*p_i\)
Beispiel: Spielautomat → Wie groß ist der durchschnittliche Gewinn?
Wahrscheinlichkeitstabelle:
| Spielgewinn | P |
|---|---|
| 0 | 0.3 |
| 0.10€ | 0.4 |
| 0.25€ | 0.2 |
| 1.00€ | 0.095 |
| 2.00€ | 0.005 |
Berechnung:
E_x <- 0*0.3 + 0.4*0.1 + 0.2*0.25 + 0.095*1 + 0.005*2 E_x
[1] 0.195
- → Der zu erwartende Gewinn (Erwartungswert E(x)) beträgt 20 Cent.
- → Somit verdient der Automatenbetreiber 80 Cent pro Spiel.
- → Bei einem Einsatz von 1€ wird also durchschnittlich 80 Cent Verlust gemacht.
Wir fassen zusammen
Wie wird Wahrscheinlichkeit definiert?
Objektivistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff
Klassischer Ansatz (LaPlace, Bernoulli) → aus dem Glücksspiel entwickelt
- Quotient aus der Zahl der günstigen und der Zahl aller möglichen Fälle.
- Ein einzelner Versuch hat endlich viele, gleich wahrscheinliche Ausgänge (der ideale Würfel).
- Elementarereignisse besitzen hierbei gleiche A-priori-Eintrittswahrscheinlichkeiten.
Statistische bzw. empirische Wahrscheinlichkeit → Frequentisten
- Beruht auf der gemessenen Häufigkeit eines bestimmten Ereignisses.
- \(P\) entspricht dem Grenzwert der relativen Häufigkeiten des Auftretens des Ereignisses: \(lim(rel.Häufigkeit)=\frac{lim(Anzahl~Ereignis)}{Stichprobenzahl}\) (denkt an die Würfelexperimente mit 20 vs. 100000 Versuchen)
Wir fassen zusammen
Wie wird Wahrscheinlichkeit definiert?
Subjektivistische Wahrscheinlichkeitsauffassung
Bayes’scher Wahrscheinlichkeitsbegriff
- Darf nicht mit dem gleichfalls auf Thomas Bayes zurückgehenden Satz von Bayes verwechselt werden.
- Bei einmaligen Zufallsereignissen kann man deren Eintrittswahrscheinlichkeit nur schätzen, nicht berechnen.
- Zentrale Gesichtspunkte bei der Schätzung sind Expertenwissen, Erfahrung und Intuition.
- Spielt v.a. im Alltag eine große Rolle.
Wir fassen zusammen
Wie wird Wahrscheinlichkeit definiert?
Axiomatischer Wahrscheinlichkeitsbegriff
Axiome von Kolmogorow
- Definiert die mathematischen Eigenschaften der Wahrscheinlichkeit.
- Wurde in den 1930ern von Andrei Kolmogorov entwickelt und repräsentiert die maßgebende Definition in der heutigen Mathematik.
- Es gibt 3 Axiome:
- Axiom 1: Die Wahrscheinlichkeit ist nicht negativ und liegt zwischen 0 und 1 → \(0 ≤ P(A) ≤ 1\)
- Axiom 2: Das Ereignis, das alle möglichen Ereignisse eines Zufallsexperimentes vereinigt hat die Wahrscheinlichkeit 1 (\(P(\Omega) = 1\) → Regel 1).
- Axiom 3: Die Wahrscheinlichkeiten zweier sich ausschließender Ereignisse können ohne Abzug addiert werden (= spezielle Additionsregel).
Wir fassen zusammen
Was ist die Wahrscheinlichkeitstheorie?
- Die Wahrscheinlichkeitstheorie oder Probabilistik ist ein Teilgebiet der Mathematik, das aus der Formalisierung, der Modellierung und der Untersuchung von Zufallsgeschehen hervorgegangen ist.
- Gemeinsam mit der mathematischen Statistik, die anhand von Beobachtungen zufälliger Vorgänge Aussagen über das zugrunde liegende Modell trifft, bildet sie das mathematische Teilgebiet der Stochastik.
- Zentralen Objekte der Wahrscheinlichkeitstheorie sind zufällige Ereignisse, Zufallsvariablen und stochastische Prozesse.
Ãœbungsaufgabe
Übungen aus…
Kapitel 2 - Wahrscheinlichkeitstheorie
- R Notebook-Skripte
- DS2_02_Ãœbungen.Rmd
- DS2_02_Übungen_Lösung.Rmd
Abschlussquiz
Fragen?
Bei weiteren Fragen: saskia.otto(at)uni-hamburg.de
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