SoSe2022
= Messungen oder Resultate
= eines der möglichen Resultate
=Gesamtheit aller Elementarereignisse mit der Wahrscheinlichkeit 1 (entspricht 100%)
Zufällige geworfene Augenzahl bei einem Würfel.
Die Augenzahl 1-6 bei einem 6-seitigen Würfel.
Schreibweisen:
\(P(A~oder~B) = P(A \cup B)\) und \(P(A~und~B) = P(A \cap B)\)
Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten, mit 3 Würfeln eine Summe von 9 oder 10 zu erhalten?
25 Elementarereignisse ergeben in der Summe 9:
27 Elementarereignisse ergeben in der Summe 10:
Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten, mit 3 Würfeln eine Summe von 9 oder 10 zu erhalten?
Theoretische Werte: P(Summe 9) = 0.1157 und P(Summe 10) = 0.1250
calc_prob <- function(n = 100) {
sum3 <- vector("integer", n)
true9<- vector("logical", n)
true10 <- vector("logical", n)
for (i in 1:n) {
sum3 <- sum(sample(1:6,3,replace = T))
true9[i] <- ifelse(sum3 == 9, T, F)
true10[i] <- ifelse(sum3 == 10, T, F)
}
out <- c(
prob9 = round(sum(true9)/n, 4),
prob10 = round(sum(true10)/n, 4)
)
return(out)
}calc_prob(n = 20)
prob9 prob10 0.30 0.05
calc_prob(n = 20)
prob9 prob10 0.25 0.00
calc_prob(n = 20)
prob9 prob10 0.1 0.1
calc_prob(n = 100)
prob9 prob10 0.13 0.19
calc_prob(n = 100)
prob9 prob10 0.13 0.06
calc_prob(n = 100000)
prob9 prob10 0.115 0.125
calc_prob(n = 100000)
prob9 prob10 0.116 0.124
Was ist wahrscheinlicher, in vier Würfen eines einzelnen Würfels mindestens eine ‘6’ zu würfeln (Variante A) ODER in 24 Würfen eines Würfelpaars mindestens eine ‘Doppelsechs’ zu erzielen (Variante B)?
Wahrscheinlichkeit in 4 Würfen mindestens eine 6 zu erzielen → lass uns Regel 5 und dann 4 anwenden:
Wahrscheinlichkeit in 24 Würfen mindestens eine Doppelsechs zu erzielen → Regel 5 und 4:
calc_prob2 <- function(n = 100) {
successA <- vector("logical", n) # Variante A
for (i in 1:n) {
rdraw <- sample(1:6, 4, replace = TRUE)
successA[i] <- ifelse(6 %in% rdraw, TRUE, FALSE)
}
probsA <- round(sum(successA)/n, 4)
successB <- vector("logical", n) # Variante B
for (i in 1:n) {
ind_success <- vector("logical", 24)
for (j in 1:24) {
rdraw <- sample(1:6, 2, replace = TRUE)
ind_success[j] <- ifelse(all(rdraw == c(6,6)), TRUE, FALSE)
}
successB[i] <- any(ind_success)
}
probsB <- round(sum(successB)/n, 4)
out <- c(probsA = probsA, probsB = probsB) # Ausgabe
return(out)
}Theoretische Werte: P(Variante A) = 0.518 und P(Variante B) = 0.491
calc_prob2(n = 20)
probsA probsB 0.40 0.35
calc_prob2(n = 20)
probsA probsB 0.55 0.70
calc_prob2(n = 20)
probsA probsB 0.40 0.55
calc_prob2(n = 100)
probsA probsB 0.48 0.47
calc_prob2(n = 100)
probsA probsB 0.56 0.42
calc_prob2(n = 100000)
probsA probsB 0.518 0.491
calc_prob2(n = 100000)
probsA probsB 0.519 0.495
Die bedingte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses B ist die Wahrscheinlichkeit, dass B eintreten wird, vorausgesetzt, dass A bereits eingetreten ist.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
Angenommen, wir haben im ersten Wurf eine 6 geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, im nächsten Wurf ebenfalls eine 6 zu werfen? Was ist P(6|6)?
Angenommen, wir haben im ersten Wurf eine 6 geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, im nächsten Wurf ebenfalls eine 6 zu werfen? Was ist P(6|6)?
Angenommen, wir haben im ersten Wurf eine 6 geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, im nächsten Wurf ebenfalls eine 6 zu werfen? Was ist P(6|6)?
Angenommen, wir haben im ersten Wurf eine 6 geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, im nächsten Wurf ebenfalls eine 6 zu werfen? Was ist P(6|6)?
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine getestete Person bei einem positiven Coronavirus-Schnelltest tatsächlich infiziert ist?
→ gesucht wird \(P(A|B)\), also \(P(infiziert|positiv)\)
\[ \begin{align} P(B|A) &= \frac{P(A)*P(B|A)}{P(B)}\\ &=\frac{P(A)*P(B|A)}{P(A)*P(B|A)+P(nA)*P(B|nA)}\\ \\ &=\frac{0.0005*0.8}{0.0005*0.8+0.9995*0.02} = 0.0196 \end{align} \]
01:00
Berechne nun mithilfe der Bayesschen Formel wie hoch \(P(A|B)\) bzw. \(P(infiziert|positiv)\) ist, wenn die Prävalenz nicht 0.05% sondern 10% beträgt?
\[ \begin{align} P(B|A) &= \frac{P(A)*P(B|A)}{P(B)}\\ &=\frac{P(A)*P(B|A)}{P(A)*P(B|A)+P(nA)*P(B|nA)}\\ \\ &=\frac{0.1*0.8}{0.1*0.8+0.9*0.02} = 0.8163 \end{align} \]
Hier werden unterschiedliche ‘Odd’ Angaben genutzt:
p
Wahrscheinlichkeitstabelle:
| Spielgewinn | P |
|---|---|
| 0 | 0.3 |
| 0.10€ | 0.4 |
| 0.25€ | 0.2 |
| 1.00€ | 0.095 |
| 2.00€ | 0.005 |
Berechnung:
E_x <- 0*0.3 + 0.4*0.1 + 0.2*0.25 + 0.095*1 + 0.005*2 E_x
[1] 0.195
Bei weiteren Fragen: saskia.otto(at)uni-hamburg.de

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